Язэп Драздовіч нарадзіўся 1 лістапада 1888 г. у засьценку Пунькі Дзісенскага павета Віленскай губэрні (зараз Глыбоцкі раён) у сям'і шляхціца-арандатара.

У 1908 г. скончыў Віленскую школу маляваньня.

У 1910-14 служыў у арміі, дзе скончыў фельчарскія курсы, у 1-ю сусв. вайну - на Заходнім фронце. Пасля звальнення з арміі з-за стану здароўя жыў на Дзісеншчыне ў фальварку Лявонаўка каля в. Германавічы. У 1919-20 у Мінску: мастак-дэкаратар у «Беларускай хатцы», Беларускім дзяржаўным тэатры; у 1919 арганізаваў культурна-асветніцкае т-ва «Заранка», якое адчыняла школы, аматарскі тэатр, бібліятэку; выкладаў малюнак у беларускай гімназіі і жаночай прагімназіі,супрацоўнічаў з літ. выдаведствамі як ілюстратар. Пасля вяртання на Дзісеншчыну, якая паводле Рыжскага дагавора 1921 адышла да Польшчы, у 1921-22 спрабаваў арганізаваць на радзіме беларускія школы. У 1924-26 выкладаў маляванне ў Глыбоцкай польскай школе, актыўна супрацоўнічаў з ТБШ. Працаваў у Радашковіцкай беларускай гімназіі імя Ф.Скарыны. У 1926-27 супрацоўнічаў у сатырычным часопісе «Маланка». У 1927 заснаваў мастацкую студыю пры Віленскай беларускай гімназіі. У 1927-29 выкладаў маляванне ў беларускай гімназіі ў Навагрудку, вёў работу па зборы экспанатаў для Віленскага беларускага музея. Пасля далучэння Заходняй Беларусі да БССР вучыўся на кароткачасовых настаўніцкіх курсах і ў 1940-41 працаваў настаўнікам малявання і батанікі ў Глыбокім і Лужках.  

Першыя малюнкі Драздовіча зроблены ў 1907. Аформіў вокладкі «Беларускага календара на 1910», кнігі К.Буйло «Курганная кветка» (1914), «Школьнага спеўніка» А.Грыневіча (1920), і інш. 3 самага пачатку сваёй творчай дзейнасці выкарыстоўваў гістарычныя рэаліі і матывы. У 1916 стварыў скульптуру «Гарыслава» (выяву полацкай княгіні Рагнеды) і бюст Ф. Скарыны. Намаляваў серыю графічных краявідаў «Дзісеншчына» з сялянскімі сядзібамі і палеткамі,  у канцы 1910 - пач. 1920-х гадоў графічныя серыі «Заслаўе», «Старажытная будоўля на Беларусі», «Вежа Празор», «Мінск, Высокае месца», «Месца ўпадзення Нямігі ў Свіслач». Графічныя малюнкі Драздовіча ўпрыгожылі падручнік геаграфіі А.Смоліча. На мяжы 1910—20-х гадоў зрабіў графічныя партрэты полацкіх і смаленскіх князёў, у т.л. Усяслава Чарадзея, жывапісныя карціны «Спаленыя сядзібы», «Усяслаў Чарадзей у парубе пад палатамі кіеўскага князя», «Пагоня Ярылы» , альбом графікі «Глыбокае». У 2-й пал. 1920-х гадоў стварыў вялякія графічныя серыі (па 14—16 лістоў) «Мір», «Глыбокае», «Навагрудак і навагрудцы», «Крэва», «Ліда», «Гальшаны», «Меднікі», «Трокі», прысвечаныя гарадзішчам, замкам і культавым збудаванням. У гэты час шмат вандраваў па Дзісеншчыне, Піншчыне, дзе рабіў графічныя замалёўкі, збіраў этнаграфічныя матэрыялы для «Беларускага этнаграфічнага слоўніка». У 1927 і 1-й палове 1940-х гадоў напісаў некалькі карцін і акварэлей, прысвечаных Скарыне. Па матывах «Слова пра паход Ігаравы» напісаў карціну «Песня Баяна».  У 1940—46  вяртаецца да мінулага свайго народа - карціны «Палачане выганяюць накінутага ім князя», «Усяслаў Чарадзей пад Гародняй», «Пярсцёнак Усяслава Чарадзея». Драздовіч - пачынальнік касмічнай тэмы ў выяўленчым мастацтве: серыі «Жыццё на Марсе» (1931), «Жыццё на Сатурне» і «Жыццё на Месяцы» (1932), «Космас» (1940). Аўтар навукова-папулярнай брашуры па астраноміі «Нябесныя бегі» (1931).  

Этнаграфічна-пазнавальнае значэнне маюць яго шматлікія замалёўкі ўзораў дойлідства, прылад працы і прадметаў побыту земляроба, адзення. Вывучаў фальклор Дзісеншчыны і Піншчыны. Склаў зборнік «Песні Дзісеншчыны», захаваліся рукапісы паэмы «Трызна мінуўшчыны» і гістарычна-бытавой аповесці «Гарадольская пушча», апавяданне «Сон Гараноса» з яго ілюстрацыямі. У Вільні пад псеўданімам Я.Нарцызаў выдаў кніжку «Пабрацімцы і вялікая шышка» (1923). У Свіры, пазней у родных мясцінах праводзіў археалагічныя даследаванні. У ненадрукаванай працы «Дзісенская дагістарычная старына» апісаў 30 археалагічных помнікаў. Адкрыў некалькі стаянак каменнага і бронзавага вякоў, шмат каменных крыжоў, сабраў калекцыю каменных сякер. У выніку археалагічных пошукаў напісаў працу “дзе знаходзяцца Дудуткі і Гародня”. Пахаваны ў в. Ліпляны Глыбоцкага р-на.  

Я. Драздовіч - адзін з заснавальнікаў нацыянальнага гістарычнага жывапісу.  

Памёр 5 жніўня 1954 г.